Question

一根水平放置的長(zhǎng)方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長(zhǎng)度l的平方成反比．
（1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋�，枕木的安全�?fù)荷變大嗎？為什么？
（2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來(lái)截取成長(zhǎng)方體形的枕木，木材長(zhǎng)度即為枕木規(guī)定的長(zhǎng)度，問(wèn)如何截取，可使安全負(fù)荷最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可設(shè)原來(lái)的安全負(fù)荷為y1=k•

ad2

l2

，將此枕木翻轉(zhuǎn)90°后，枕木的寬度與厚度互換，安全負(fù)荷變?yōu)椋?span id="xdth32g" class="MathJye">y2=k•

da2

l2

．然后通過(guò)作商比較大小，討論a、d的大小關(guān)系，可得正確結(jié)論；
（2）半圓的半徑為R，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，則根據(jù)垂徑定理，得a²+4d²=4R²．根據(jù)木材長(zhǎng)度l為枕木規(guī)定的長(zhǎng)度是一個(gè)不變的定值，得到當(dāng)u=ad²最大時(shí)，安全負(fù)荷最大，建立關(guān)系式u=d2

a2

=2

d4(R2-d2)

．利用基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)

d2

2

=R2-d2，u最大，即安全負(fù)荷達(dá)到最大值

4 3 9 R3

．

解答：解：（1）由題可設(shè)安全負(fù)荷為：y1=k•

ad2

l2

（k為正常數(shù)），
則翻轉(zhuǎn)90°后，安全負(fù)荷為：y2=k•

da2

l2

．
因?yàn)?span id="rzoua4i" class="MathJye">

y1

y2

=

d

a

，
所以，當(dāng)0＜d＜a時(shí)，y₁＜y₂．安全負(fù)荷變大；
當(dāng)0＜a＜d時(shí)，y₁＞y₂，安全負(fù)荷變�。�
（2）如圖，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，
則根據(jù)垂徑定理，得(

a

2

)2+d2=R2，即a²+4d²=4R²．

∵枕木長(zhǎng)度不變，
∴u=ad²最大時(shí)，安全負(fù)荷最大
∴u=d2

a2

=d2

4R2-4d2

=2

d4(R2-d2)

=4 d2 2 • d2 2 •(R2-d2) ≤4 ( d2 2 + d2 2 +(R2-d2) 3 )3 = 4 3 R3 9

當(dāng)且僅當(dāng)

d2

2

=R2-d2，
即取d=

6

3

R，a=2

R2-d2

=

2 3

3

R時(shí)，u最大，即安全負(fù)荷最大．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)求枕木安全負(fù)荷的最值，著重考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型的方法，屬于中檔題．