Question

一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．
（1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋�，枕木的安全負荷變大嗎？為什么�?br />（2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方體形的枕木，木材長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，可設(shè)原來的安全負荷為，將此枕木翻轉(zhuǎn)90°后，枕木的寬度與厚度互換，安全負荷變?yōu)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024185519178700407/SYS201310241855191787004018_DA/1.png">．然后通過作商比較大小，討論a、d的大小關(guān)系，可得正確結(jié)論；
（2）半圓的半徑為R，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，則根據(jù)垂徑定理，得a²+4d²=4R²．根據(jù)木材長度l為枕木規(guī)定的長度是一個不變的定值，得到當(dāng)u=ad²最大時，安全負荷最大，建立關(guān)系式．利用基本不等式可得：當(dāng)且僅當(dāng)，u最大，即安全負荷達到最大值．
解答：解：（1）由題可設(shè)安全負荷為：（k為正常數(shù)），
則翻轉(zhuǎn)90°后，安全負荷為：．
因為，
所以，當(dāng)0＜d＜a時，y₁＜y₂．安全負荷變大；
當(dāng)0＜a＜d時，y₁＞y₂，安全負荷變�。�
（2）如圖，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，
則根據(jù)垂徑定理，得，即a²+4d²=4R²．

∵枕木長度不變，
∴u=ad²最大時，安全負荷最大
∴

當(dāng)且僅當(dāng)，
即取，時，u最大，即安全負荷最大．
點評：本題借助于一個實際問題，通過求枕木安全負荷的最值，著重考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型的方法，屬于中檔題．