Question

20．已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）（a∈R），則在同一個坐標(biāo)系下函數(shù)f（x+a）與f（x）的圖象不可能的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 去絕對值化簡f（x）解析式，對a進行討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)律得出兩函數(shù)圖象．

解答 解：f（x）=x（1+a|x|）=x+ax|x|=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{-a{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$，
 （1）若a＞0，則當(dāng)x≥0時，對稱軸為x=-$\frac{1}{2a}$＜0，開口向上，
x＜0時，對稱軸為x=$\frac{1}{2a}$＞0，開口向下，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（0）=0，
f（x+a）是由f（x）向左平移a的單位得到的，
此時函數(shù)圖象為B，
（2）若a＜0，則當(dāng)x≥0時，對稱軸為x=-$\frac{1}{2a}$＞0，開口向下，
x＜0時，對稱軸為x=$\frac{1}{2a}$＜0，開口向上，
∴f（x）在（0，+∞）上先減后增，在（-∞，0）先減后增，且f（0）=0，
f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的單位得到的，
此時函數(shù)圖象為A或C，
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．