Question

10．當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，求證：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 先驗(yàn)證n=1不等式成立，假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，推導(dǎo)n=k+1不等式成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右邊=$\sqrt{2}$，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2且k∈N^*）不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{\sqrt{k•k}+1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
∴對(duì)n≥2，n∈N^*時(shí)，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．