Question

16．對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，則稱x₀是f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f（x）=2x+$\frac{4}{x}$-5，求此函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)f（x）=ax²-x+3在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由定義可得f（x）=x，解方程即可得到所求不動(dòng)點(diǎn)；
（2）由題意可得ax²-2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根，討論a＞0或a＜0和判別式大于0，對(duì)稱軸介于x=1的右邊，x=1的函數(shù)值大于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2x+$\frac{4}{x}$-5，
由f（x）=x，即x+$\frac{4}{x}$-5=0，
即為x²-5x+4=0，解得x=1和4，
則此函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為1，4；
（2）二次函數(shù)f（x）=ax²-x+3在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，
即為ax²-2x+3=0在x∈（1，+∞）上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
當(dāng)a＞0時(shí)，△=4-12a＞0，且a-2+3＞0，$\frac{1}{a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{3}$；
當(dāng)a＜0，由于對(duì)稱軸x=$\frac{1}{a}$＜0，在x∈（1，+∞）上沒(méi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，不成立．
綜上可得，0＜a＜$\frac{1}{3}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義：“不動(dòng)點(diǎn)”的理解和應(yīng)用，考查二次方程的根的分布情況，注意結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．