Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為2的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)OP⊥OQ，求直線l的方程；
（3）在x上是否存在一點(diǎn)E使得過(guò)E的任一直線與橢圓若有兩個(gè)交點(diǎn)M、N則都有$\frac{1}{{|EM{|^2}}}+\frac{1}{{|EN{|^2}}}$為定值？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的定值．

Answer 1

分析 （1）由已知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}ab=1$，又a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為y=2x+t，則$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=2x+t\end{array}\right.$，可得$（4{t^2}-4）{（{\frac{y}{x}}）^2}+16（{\frac{y}{x}}）+（{t^2}-16）=0$，根據(jù)OP⊥OQ，可得k_OP•k_OQ=-1，解出即可得出．
（3）設(shè)E（m，0）、M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），當(dāng)直線n不為x軸時(shí)的方程為x=ty+m，與橢圓方程聯(lián)立化為（t²+4）y²+2tmy+（m²-4）=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：$\frac{1}{{|EM{|^2}}}+\frac{1}{{|EN{|^2}}}$為定值5．

解答 解：（1）由已知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}ab=1$，又a²=b²+c²，解得$a=2，b=1，c=\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（3分）
（2）設(shè)直線l的方程為y=2x+t，則由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=2x+t\end{array}\right.$，可得$\frac{x^2}{4}+{y^2}={（{\frac{y-2x}{t}}）^2}$，
即$（4{t^2}-4）{（{\frac{y}{x}}）^2}+16（{\frac{y}{x}}）+（{t^2}-16）=0$
∵OP⊥OQ，∴$\frac{{{t^2}-16}}{{4{t^2}-4}}=-1⇒{t^2}=4⇒t=±2$，
∴直線l的方程為y=2x±2即2x-y±2=0．…（7分）
（3）設(shè)E（m，0）、M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），當(dāng)直線n不為x軸時(shí)的方程為x=ty+m，
聯(lián)立橢圓方程得：$\left\{\begin{array}{l}x=ty+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$⇒（t²+4）y²+2tmy+（m²-4）=0，∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2tm}{{{t^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{t^2}+4}}$…（8分）
$\frac{1}{{|EA{|^2}}}+\frac{1}{{|EB{|^2}}}=\frac{1}{{（1+{t^2}）y_1^2}}+\frac{1}{{（1+{t^2}）y_2^2}}=\frac{1}{{（1+{t^2}）}}•\frac{{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-2{y_1}{y_2}}}{y_1^2y_2^2}$=$\frac{1}{{1+{t^2}}}•\frac{{（32-8{m^2}）+（2{m^2}+8）{t^2}}}{{{{（{m^2}-4）}^2}}}$…（10分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)32-8m²=2m²+8即$m=±\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$時(shí)$\frac{1}{{|EA{|^2}}}+\frac{1}{{|EB{|^2}}}=5$（定值）．
即   在x軸上存在點(diǎn)E使得$\frac{1}{{|EA{|^2}}}+\frac{1}{{|EB{|^2}}}$為定值5，點(diǎn)E的坐標(biāo)為$（{\frac{{2\sqrt{15}}}{3}，0}）$或$（{-\frac{{2\sqrt{15}}}{3}，0}）$．    經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線AB為x軸時(shí)上面求出的點(diǎn)E也符合題意．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．