Question

20．設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對于所有的x都有f（x+2）=f（x-2）恒成立，當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1，若函數(shù)g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x-a在區(qū)間（-2，6]上恰有3個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{16}$，$\frac{11}{4}$）．

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x-a在區(qū)間（-2，6]上恰有3個不同零點?函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=$（\frac{1}{2}）^{x}+a$在區(qū)間（-2，6]上恰有3個不同交點點； 依據(jù)函數(shù)y=f（x）周期、當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1及f（x）的奇偶性，可畫出數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象，結合圖象求解．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x-a在區(qū)間（-2，6]上恰有3個不同零點?函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=$（\frac{1}{2}）^{x}+a$在區(qū)間（-2，6]上恰有3個不同交點點；
∵函數(shù)f（x）是定義在R上，且對于所有的x都有f（x+2）=f（x-2）恒成立，∴函數(shù)y=f（x）周期為4，
由當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-1及f（x）的奇偶性，可畫出數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象，如下
只需$（\frac{1}{2}）^{2}+a＜3，（\frac{1}{2}）^{4}+a＞0$即可，解得-$\frac{1}{16}$＜a$＜\frac{11}{4}$．
故答案為：（-$\frac{1}{16}，\frac{11}{4}$）

點評 本題考查了函數(shù)零點問題，考查了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合思想，屬于中檔題．