Question

5．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓E的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．
（1）求圓E的極坐標方程；
（2）若直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=2+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），求圓E的圓心到直線l的距離．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)），利用cos²φ+sin²φ=1可得圓E的普通方程為（x-1）²+（y-1）²=1，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出極坐標方程．
（2）圓心E的坐標為（1，1），設(shè)點E到點$（{3-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t，2+\frac{1}{2}t}）$的距離為d，利用兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}\right.（φ$為參數(shù)）得圓E的普通方程為
（x-1）²+（y-1）²=1，
則（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-1）²=1，展開為ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）圓心E的坐標為（1，1），
設(shè)點E到點$（{3-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t，2+\frac{1}{2}t}）$的距離為d，則${d^2}={（{3-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t-1}）^2}+{（{2+\frac{1}{2}t-1}）^2}={t^2}-2（{\sqrt{3}-\frac{1}{2}}）t+5={[{t-（{\sqrt{3}-\frac{1}{2}}）}]^2}+\frac{{7+4\sqrt{3}}}{4}$，
d_min=$\sqrt{\frac{7+4\sqrt{3}}{4}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，即圓心E到直線l距離為$\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．