Question

9．已知現(xiàn)有4個半徑為1的球兩兩外切，則這4個球的外切正四面體的棱長是2+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 把球的球心連接，則又可得到一個棱長為2的小正四面體，正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應該是重合的，先求出小正四面體的中心到底面的距離，再求出正四面體的中心到底面的距離，把此距離乘以4可得正四棱錐的高，再根據(jù)正四面體的棱長與高的關系求得棱長．．

解答 解：由題意知，底面放三個球，上再落一個球．于是把球的球心連接，則又可得到一個棱長為2的小正四面體，則不難求出這個小正四面體的高為$\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
且由正四面體的性質可知：正四面體的中心到底面的距離是高的$\frac{1}{4}$，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應該是重合的，
∴小正四面體的中心到底面的距離$\frac{2\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{6}}{6}$=，正四面體的中心到底面的距離是$\frac{\sqrt{6}}{6}+1$，所以可知正四面體的高的最小值為（$\frac{\sqrt{6}}{6}$+1）×4=4+$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
設正四面體的棱長為m，$\frac{\sqrt{6}}{3}m=4+\frac{2\sqrt{6}}{3}$，解得m=$2+2\sqrt{6}$，
故答案為：2+2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了正四面體與球心的相切問題，小球的半徑與兩個四面體棱長的關系，是解題的關鍵，屬于中檔題．