Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2，0），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\end{array}\right.（s為參數(shù)）$，將其代入y²=4x，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$消t得曲線C的普通方程為y²=4x．（2分）
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l過(guò)點(diǎn)P（2，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$，
所以直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\end{array}\right.（s為參數(shù)）$，（7分）
將其代入y²=4x，整理可得${s^2}-4\sqrt{2}s-16=0$，（8分）$△={（-4\sqrt{2}）^2}+4×16＞0$，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為s₁，s₂則 ${s_1}+{s_2}=4\sqrt{2}，{s_1}{s_2}=-16$，
所以$|{AB}|=|{{s_1}-{s_2}}|=\sqrt{{{（{s_1}+{s_2}）}^2}-4{s_1}{s_2}}=\sqrt{{{（4\sqrt{2}）}^2}+4×16}=4\sqrt{6}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．