Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}前5項(xiàng)和為50，a₇=22，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b₁=1，b_n+1=3S_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，n∈N^*，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₇的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可首項(xiàng)和公差，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得所以{b_n}為首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式
（II）根據(jù)數(shù)列的遞推公式先求出{c_n}的通項(xiàng)公式，再分組求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d．
依題意得$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=50\\{a_1}+6d=22\end{array}\right.$，
解得a₁=4，d=3，
所以a_n=a₁+（n-1）d=3n+1．
當(dāng)n=1時(shí)，b₂=3b₁+1=4，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n+1=3S_n+1，b_n=3S_n-1+1，
以上兩式相減得b_n+1-b_n=3b_n，則b_n+1=4b_n，
又b₂=4b₁，所以b_n+1=4b_n，n∈N^*．
所以{b_n}為首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以${b_n}={4^{n-1}}$．
（Ⅱ）因?yàn)?\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，n∈N^*
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{{b_{n-1}}}}={a_n}$，
以上兩式相減得$\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}-{a_n}=3$，所以${c_n}=3{b_n}=3×{4^{n-1}}$，n≥2．
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{c_1}{b_1}={a_2}$，所以c₁=a₂b₁=7，不符合上式，
所以c₁+c₂+…+c₂₀₁₇=7+3（4+4²+…+4²⁰¹⁶）=$7+3×\frac{{4（1-{4^{2016}}）}}{1-4}={4^{2017}}+3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．