Question

3．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為銳角θ，且$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$=cosθ，則稱$\overrightarrow{a}$被$\overrightarrow$“同余”．已知$\overrightarrow$被$\overrightarrow{a}$“同余”，則$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影是（　�。�

• A． $\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}}{|\overrightarrow{a}|}$
• B． $\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$
• C． $\frac{{\overrightarrow}^{2}-{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow|}$
• D． $\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}}{|\overrightarrow|}$

Answer 1

分析 根據“同余”的定義寫出$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$=cosθ，再計算數量積（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$，從而求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影．

解答 解：根據題意，$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$=cosθ，其中θ為$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角；
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）$•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$上的投影為：
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|×$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}{-\overrightarrow}^{2}}{|\overrightarrow{a}|}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算以及向量投影的計算問題，是基礎題．