Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₂=-1，a₆=7．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的通項公式可得首項和公差的方程，解方程即可得到所求通項公式；
（2）求出b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n=（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}的公差為d，a₂=-1，a₆=7，
可得a₁+d=-1，a₁+5d=7，
解得a₁=-3，d=2，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d=-3+2（n-1）=2n-5，n∈N*；
（2）b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n=（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項和為S_n=-3•$\frac{1}{2}$+（-1）•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-7）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=-3•（$\frac{1}{2}$）²+（-1）•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-7）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=-3•$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=-$\frac{3}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=-1-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．