Question

3．給出如下命題：
①“m∈（-1，2）”是“方程$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-2}=1$為橢圓方程”的充要條件；
②命題“若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離之差的絕對(duì)值為8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線”的逆否命題為真命題；
③若p∧q為假命題，則p，q都是假命題；
④已知條件p：{x|x＜-3，或x＞1}，q：x＞a．若?p是?q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1；
其中所有正確命題的序號(hào)是④．

Answer 1

分析 在①中，“m∈（-1，2）”是“方程$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-2}=1$為橢圓方程”的不充分不必要條件；
在②中，原命題是假命題，從而它的逆否命題為假命題；
在③中，若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個(gè)是假命題；
在④中，-3≤x≤1⇒x≤a，且由x≤a推不出-3≤x≤1，從而a≥1．

解答 解：在①中，∵m∈（-1，2），∴0＜m+1＜3，-3＜m-2＜0，
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，m+1=$\frac{3}{2}$，m-2=-$\frac{1}{2}$，方程$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-2}=1$為圓；
若$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-2}=1$為橢圓，則$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{m-2＜0}\\{m+1≠2-m}\end{array}\right.$，即-1＜m＜2且m$≠\frac{1}{2}$．
∴“m∈（-1，2）”是“方程$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-2}=1$為橢圓方程”的不充分不必要條件，故①錯(cuò)誤；
在②中，若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離之差的絕對(duì)值為8，
則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩條射線，
故命題“若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離之差的絕對(duì)值為8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線”是假命題，
所以它的逆否命題為假命題，故②錯(cuò)誤；
在③中，若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個(gè)是假命題，故③錯(cuò)誤；
在④中，∵條件p：{x|x＜-3，或x＞1}，q：x＞a．若?p是?q的充分不必要條件，
∴-3≤x≤1⇒x≤a，且由x≤a推不出-3≤x≤1，∴a≥1．故④正確．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，涉及橢圓、雙曲線、復(fù)合命題、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．