如圖，橢圓C：x2＋3y2＝3b2(b＞0)．

(Ⅰ)求橢圓C的離心率；

(Ⅱ)若b＝1，A，B是橢圓C上兩點，且|AB|＝，求△AOB面積的最大值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2

　　得，

　　所以e＝＝＝＝．　5分

　　(Ⅱ)解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面積為S．

　　如果AB⊥x軸，由對稱性不妨記A的坐標(biāo)為(，)，此時S＝＝；

　　如果AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，

　　由得x2＋3(kx＋m)2＝3，

　　即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)＞0，

　　所以x1＋x2＝－，x1x2＝，

　　(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝，①

　　由|AB|＝及|AB|＝得

　　(x1－x2)2＝，②

　　結(jié)合①，②得m2＝(1＋3k2)－．又原點O到直線AB的距離為，

　　所以S＝，

　　因此S2＝＝[－]＝[－(－2)2＋１]

　�。剑�(－2)2＋≤，

　　故S≤．當(dāng)且僅當(dāng)＝2，即k＝±1時上式取等號．又＞，故Smax＝．　15分


提示：

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分15分．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若b=1，A，B是橢圓C上兩點，且|AB|=
3
，求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，橢圓C：x2+
y2
m
=1  (0＜m＜1)的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關(guān)于點M對稱．
（Ⅰ）若點P的坐標(biāo)為(
9
5
，
4
3
5
)，求m的值；
（Ⅱ）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點F2與拋物線y2=8x的焦點重合，過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且
|CD|
|ST|
=2
6
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2+（y-2）2=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求
PE
•
PF
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖南省長郡中學(xué)2012屆高三第五次月考數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

如圖，橢圓C：x2＋3y2＝3b2(b＞0)．

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若b＝1，A，B是橢圓C上的兩點，且|AB|＝，求△AOB面積的最大值．

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