Question

10．一個正三棱柱頂點都在球面上，正三棱柱的底面是正三角形，正三角形的邊長是3，正三棱柱的體積是$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，則球的體積是$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 由正三棱柱的體積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求出側棱．正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的體積

解答 解：由正三棱柱的體積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，得V=sh=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$×2$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，解得h=2，
即正三棱柱的側棱為2
正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為r=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×3$=$\sqrt{3}$：
所以外接球的半徑為R=$\sqrt{3+1}$=2，所以外接球的體積為：v=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{32}{3}$π．
故答案為：$\frac{32π}{3}$．

點評 本題考查了正三棱柱的外接球的體積的求法，找出球的球心是解題的關鍵，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題