Question

1．已知二階矩陣M有特征值λ=8及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量$\overrightarrow e=[\begin{array}{l}-1\\-1\end{array}]$，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)A（-1，2）變換成A'（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）設(shè)直線l在M^-1對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了直線m：x-y=6，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)矩陣的乘法，建立方程組，即可求矩陣M；
（2）求得逆矩陣M^-1，根據(jù)矩陣變換特點(diǎn)，寫出兩對(duì)坐標(biāo)之間的關(guān)系，把已知的點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到直線的方程，得到結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)二階矩陣M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&48cbana\end{array}]$，由M$\overrightarrow{e}$=λ$\overrightarrow{e}$，
即$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&gznfn1e\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{-1}\end{array}]$=8$[\begin{array}{l}{-1}\\{-1}\end{array}]$，
則$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{c+d=8}\end{array}\right.$，由$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&fp3qivt\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2}\\{4}\end{array}]$，則$\left\{\begin{array}{l}{-a+2b=-2}\\{-c+2d=4}\end{array}\right.$，
解得：a=6，b=2，c=4，d=4，
則M=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$，
（2）由M^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{4}{24-8}}&{\frac{-2}{24-8}}\\{\frac{-4}{24-8}}&{\frac{6}{24-8}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{4}}&{-\frac{1}{8}}\\{-\frac{1}{4}}&{\frac{3}{8}}\end{array}]$，
設(shè)直線l上任意一點(diǎn)（x，y）在M^-1對(duì)應(yīng)的變換作用下得到（x₁，y₁），
則$[\begin{array}{l}{\frac{1}{4}}&{-\frac{1}{8}}\\{-\frac{1}{4}}&{\frac{3}{8}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{x}_{1}}\\{{y}_{1}}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2x-y}{8}}\\{{y}_{1}=\frac{-2x+3y}{8}}\end{array}\right.$，
代入x₁-y₁=6，整理得：x-y=12，
∴直線l的方程為x-y-12=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二階矩陣的變換，逆矩陣的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．