Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），x＞0}\\{\frac{1}{2}x+1，x≤0}\end{array}\right.$，若m＜n，且f（m）=f（n），則n-m的取值范圍是[3-2ln2，2）．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
若m＜n，且f（m）=f（n），
則當ln（x+1）=1時，得x+1=e，即x=e-1，
則滿足0＜n≤e-1，-2＜m≤0，
則ln（n+1）=$\frac{1}{2}$m+1，即m=2ln（n+1）-2，
則n-m=n+2-2ln（n+1），
設h（n）=n+2-2ln（n+1），0＜n≤e-1
則h′（n）=1-$\frac{2}{n+1}$=$\frac{n+1-2}{n+1}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
當h′（x）＞0得1＜n≤e-1，
當h′（x）＜0得0＜n＜1，
即當n=1時，函數(shù)h（n）取得最小值h（1）=1+2-2ln2=3-2ln2，
當n=0時，h（0）=2-2ln1=2，
當n=e-1時，h（e-1）=e-1+2-2ln（e-1+1）=1+e-2=e-1＜2，
則3-2ln2≤h（n）＜2，
即n-m的取值范圍是[3-2ln2，2），
故答案為：[3-2ln2，2）

點評 本題主要考考查分段函數(shù)的應用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．