Question

3．對$?x∈（\;0\;，\;\frac{1}{3}\;）$，2^3x≤log_ax+1恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（\;0\;，\;\frac{2}{3}\;）$
• B． $（\;0\;，\;\frac{1}{2}\;]$
• C． $[\;\frac{1}{3}\;，\;1\;）$
• D． $[\;\frac{1}{2}\;，\;1\;）$

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+x，g（x）=-log_ax．h（x）=f（x）+g（x），將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上恒有h（x）≤0，又函數(shù)為增函數(shù)，故可求答案．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=2^3x，g（x）=-log_ax-1．
h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜$\frac{1}{3}$）
易知，在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上，函數(shù)f（x），g（x）均是遞增函數(shù)，
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上是遞增函數(shù)．
由題設(shè)可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上恒有h（x）≤0．
∴必有h（$\frac{1}{3}$）≤0．
即有2-log_a（$\frac{1}{3}$）-1≤0．
整理就是log_aa=1≤log_a（$\frac{1}{3}$），
∴實數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{3}$≤a＜1．
故選C．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．