Question

1．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，AB=1，BC=2．
（1）求證：AM⊥SD；
（2）若二面角B-SA-M的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出SM⊥BC，SM⊥AM，由勾股定理得AM⊥DM，從而AM⊥平面DMS，由此能證明AM⊥SD．
（2）以M為原點(diǎn)，MC為x軸，MS為y軸，過(guò)M作平面BCS的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出四棱錐S-ABCD的體積．

解答 證明：（1）∵SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，∴SM⊥BC，
∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，
∴SM⊥平面ABCD，
∵AM?平面ABCD，∴SM⊥AM，
∵底面ABCD是矩形，M是BC的中點(diǎn)，AB=1，BC=2，
∴AM²=BM²=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴AM²+BM²=AD²，∴AM⊥DM，
∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，
∵SD?平面DMS，∴AM⊥SD．
解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M為原點(diǎn)，MC為x軸，
MS為y軸，過(guò)M作平面BCS的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)SM=t，則M（0，0，0），B（-1，0，0），S（0，t，0），
A（-1，0，1），
$\overrightarrow{BA}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BS}$=（1，t，0），$\overrightarrow{MA}$=（-1，0，1），
$\overrightarrow{MS}$=（0，t，0），
設(shè)平面ABS的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BS}=x+ty=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{1}{t}$，0），
設(shè)平面MAS的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MA}=-a+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MS}=tb=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
設(shè)二面角B-SA-M的平面角為θ，
∵二面角B-SA-M的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{t}^{2}}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=$\sqrt{2}$，
∵SM⊥平面ABCD，SM=$\sqrt{2}$，
∴四棱錐S-ABCD的體積：
V_S-ABCD=$\frac{1}{3}×{S}_{矩形ABCD}×SM$=$\frac{1}{3}×2×1×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．