Question

18．已知函數(shù)f（x）=alnx-x+2，（其中實數(shù)a≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）如果對任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）≥3，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論①當a＜0時，②當a＞0時的情況，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調性找到函數(shù)的最值，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a}{x}$-1，
當a＜0時，對?x∈（0，+∞），f′（x）＜0，所以 f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞0時，令f′（x）=0，得x=a，
因為 x∈（0，a）時，f′（x）＞0；x∈（a，+∞）時，f′（x）＜0，
所以 f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，a），單調遞減區(qū)間為（a，+∞）．
（Ⅱ）用f（x）_max，f（x）_min分別表示函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值，最小值，
當a≤1且a≠0時，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_max=f（1）=1；
因為對任意的x₁∈[1，e]，x₂∈[1，e]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（1）=2＜3，
所以對任意的x₁∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）≥3；
當1＜a＜e時，由（Ⅰ）知：在[1，a]上，f（x）是增函數(shù)，
在[a，e]上，f（x）是減函數(shù)，
所以 f（x）_max=f（a）=alna-a+2；
因為對x₁=1，?x₂∈[1，e]，f（1）+f（x₂）≤f（1）+f（a）
=1+alna-a+2=a（lna-1）+3＜3，
所以 對x₁=1∈[1，e]，不存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）≥3；
當a≥e時，由（Ⅰ）知：在[1，e]上，f（x）是增函數(shù)，
所以 f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（e）=a-e+2，
因為 對任意的x₁∈[1，e]，總存在x₂∈[1，e]，使得f（x₁）+f（x₂）≥3，
即有1+a-e+2≥3
解得a≥e，
綜上所述，實數(shù)a的最小值是e．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值問題，考查導數(shù)的應用，分類討論思想，是一道難題．