18.已知函數(shù)f(x)=alnx-x+2,(其中實數(shù)a≠0).
(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)如果對任意的x1∈[1,e],總存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)≥3,求a的最小值.

分析 (Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導數(shù),通過討論①當a<0時,②當a>0時的情況,從而求出函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)通過討論a的范圍,結合函數(shù)的單調性找到函數(shù)的最值,從而求出a的范圍.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=$\frac{a}{x}$-1,
當a<0時,對?x∈(0,+∞),f′(x)<0,所以 f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,+∞);
當a>0時,令f′(x)=0,得x=a,
因為 x∈(0,a)時,f′(x)>0;x∈(a,+∞)時,f′(x)<0,
所以 f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,a),單調遞減區(qū)間為(a,+∞).
(Ⅱ)用f(x)max,f(x)min分別表示函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值,最小值,
當a≤1且a≠0時,由(Ⅰ)知:在[1,e]上,f(x)是減函數(shù),
所以 f(x)max=f(1)=1;
因為對任意的x1∈[1,e],x2∈[1,e],f(x1)+f(x2)≤2f(1)=2<3,
所以對任意的x1∈[1,e],不存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)≥3;
當1<a<e時,由(Ⅰ)知:在[1,a]上,f(x)是增函數(shù),
在[a,e]上,f(x)是減函數(shù),
所以 f(x)max=f(a)=alna-a+2;
因為對x1=1,?x2∈[1,e],f(1)+f(x2)≤f(1)+f(a)
=1+alna-a+2=a(lna-1)+3<3,
所以 對x1=1∈[1,e],不存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)≥3;
當a≥e時,由(Ⅰ)知:在[1,e]上,f(x)是增函數(shù),
所以 f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(e)=a-e+2,
因為 對任意的x1∈[1,e],總存在x2∈[1,e],使得f(x1)+f(x2)≥3,
即有1+a-e+2≥3
解得a≥e,
綜上所述,實數(shù)a的最小值是e.

點評 本題考查了函數(shù)的單調性,函數(shù)的最值問題,考查導數(shù)的應用,分類討論思想,是一道難題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.若實數(shù)x,y滿足:|x|≤y≤1,則x2+y2-2x的最小值為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1$C.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$D.$-\frac{1}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.已知x,y取值如表,畫散點圖分析可知y與x線性相關,且求得回歸方程為$\widehaty=3x-5$,則m的值為3.
x01356
y12m3-m3.89.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.若集合A={-1,0,1,2},B={1,2,3},則A∩B=( 。
A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,3}C.{1,2}D.{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

13.已知函數(shù)$f(x)=\frac{e^x}{x+2}$,則f′(0)=$\frac{1}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

3.已知n次多項式${f_n}(x)={a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+…+{a_1}x+{a_0}$,在求fn(x0)值的時候,不同的算法需要進行的運算次數(shù)是不同的.例如計算${x_0}^k$(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法運算,按這種算法進行計算f3(x0)的值共需要9次運算(6次乘法運算,3次加法運算).現(xiàn)按如圖所示的框圖進行運算,計算fn(x0)的值共需要     次運算.( 。
A.2nB.2nC.$\frac{n(n+1)}{2}$D.n+1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=0.5x2-bx,(b為常數(shù)).
(1)函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線與函數(shù)g(x)的圖象相切,求實數(shù)b的值;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在定義域上不單調,求實數(shù)b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

13.半徑為R的圓O內有一個內接正方形,現(xiàn)在向圓內任意投小鏢,求鏢落在正方形內的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

14.設x、y∈R+且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1,則x+y的最小值為( 。
A.4B.8C.16D.32

查看答案和解析>>

同步練習冊答案