Question

5．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為正方形，AD=AA₁=A₁D=2，H為AD中點，且A₁H⊥BD．
（1）證明AB⊥AA₁；
（2）求點C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出A₁H⊥AD，A₁H⊥BD，從而A₁H⊥面ABCD，進而A₁H⊥AB，由正方形性質(zhì)得AD⊥AB，從而AB⊥面ADD₁A₁，由此能證明AB⊥AA₁．
（2）由${V}_{{A}_{1}-BCD}$=${V}_{C-{A}_{1}BD}$，能求出點C到平面A₁BD的距離．

解答 證明：（1）等邊△A₁AD中，H為AD中點，∴A₁H⊥AD，
又A₁H⊥BD，且AD∩BD=D，
∴A₁H⊥面ABCD，∵AB?平面ABCD，∴A₁H⊥AB，…（3分）
在正方形ABCD中，AD⊥AB，A₁H∩AD=H，
∴AB⊥面ADD₁A₁，
∴AB⊥AA₁．…（6分）
解：（2）在△A₁BD中，A₁D=2，BD=2$\sqrt{2}$，A₁B=2$\sqrt{2}$，∴${S}_{△{A}_{1}BD}$=$\sqrt{7}$，
由（1）知，A₁H⊥面ABCD，
∴${V}_{{A}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}×{A}_{1}H$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…（9分）
由等體積法，得：
${V}_{C-{A}_{1}BD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}BD}×d=\frac{1}{3}×\sqrt{7}×d$=${V}_{{A}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}×{A}_{1}H$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴點C到平面A₁BD的距離為d=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．