Question

11．設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz=1，求證：$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥xy+yz+zx．

Answer 1

分析 x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz=1，可得$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$=$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$，利用柯西不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵x，y，z均為正實(shí)數(shù)，且xyz=1，
∴$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$=$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$，
∴由柯西不等式可得（$\frac{z}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{{y}^{2}}$+$\frac{y}{{x}^{2}}$）（xy+yz+zx）
≥（$\frac{\sqrt{xyz}}{x}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{y}$+$\frac{\sqrt{xyz}}{x}$）²=（$\frac{xyz}{x}$+$\frac{xyz}{y}$+$\frac{xyz}{z}$）²=（xy+yz+zx）²．
∴$\frac{1}{{x}^{3}y}$+$\frac{1}{{y}^{3}z}$+$\frac{1}{{z}^{3}x}$≥xy+yz+zx．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查柯西不等式的運(yùn)用，正確變形是關(guān)鍵．