Question

6．已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體，存在非零常數(shù)T，對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）設(shè)f（x）∈M，且T=2，已知當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=x+lnx，求當(dāng)-3＜x＜-2時(shí)，f（x）的解析式；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx，f（x）∈M，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）=x代入定義（x+T）=T f（x）驗(yàn)證，即可知函數(shù)f（x）=x不屬于集合M；
（2）將-3＜x＜-2轉(zhuǎn)化為1＜x+4＜2，利用當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，依據(jù)定義應(yīng)該有sin（kx+kT）=Tsinkx∈[-1，1]對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，故T=±1．將T=±1代入sin（kx+kT）=Tsinkx求k的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x，
∴對(duì)于非零常數(shù)T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∵集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
而對(duì)任意x∈R，x+T=Tx，不能恒成立，
∴不滿(mǎn)足上述性質(zhì)，
∴f（x）=x∉M；
（2）∵-3＜x＜-2，
∴1＜x+4＜2，
∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），
∵存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
∴令T=2，
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=2f（x+2）=4f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]，
∴當(dāng)-3＜x＜-2時(shí)，f（x）的解析式是f（x）=$\frac{1}{4}$[x+4+ln（x+4）]．
（3）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=0，顯然f（x）=0∈M．
當(dāng)k≠0時(shí)，因?yàn)閒（x）=sinkx∈M，所以存在非零常數(shù)T，
對(duì)任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因?yàn)閗≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，
只有T=±1，當(dāng)T=1時(shí)，sin（kx+k）=sinkx成立，
則k=2mπ，m∈Z．
當(dāng)T=-1時(shí)，sin（kx-k）=-sinkx成立，
即sin（kx-k+π）=sinkx成立，
則-k+π=2mπ，m∈Z，即k=-（2m-1）π，m∈Z．
綜合得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ，m∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查新定義下問(wèn)題的證明與求解，此類(lèi)題的特點(diǎn)是探究時(shí)只能以新定義的規(guī)則為依據(jù)，不能引入熟悉的算法，這是做此類(lèi)題時(shí)要注意的．