Question

16．如圖，已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{DC}$，${E_n}（n∈{N^*}）$為邊AC上的一列點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）•\overrightarrow{{E_n}D}$，其中實(shí)數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=1，則a₅=（　�。�

• A． 46
• B． 30
• C． 242
• D． 161

Answer 1

分析 利用向量關(guān)系推出a_n+1=3a_n+2，說明數(shù)列{a_n+1}表示首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)果．

解答 解：因?yàn)?\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{DC}$⇒$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}B}+\frac{2}{3}\overrightarrow{{E}_{n}D}$，
設(shè)m$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\overrightarrow{{E}_{n}A}$，則
因?yàn)?\overrightarrow{{E_n}A}=\frac{1}{4}{a_{n+1}}\overrightarrow{{E_n}B}-（3{a_n}+2）•\overrightarrow{{E_n}D}$，
所以$\frac{1}{3}$m=$\frac{1}{4}$a_n+1，$\frac{2}{3}$m=-（3a_n+2），
所以$\frac{1}{4}$a_n+1=-$\frac{1}{2}$（3a_n+2），
所以a_n+1+1=3（a_n+1），
因?yàn)閍₁+1=2，
所以{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以a_n+1=2•3^n-1，
所以a_n=2•3^n-1-1．
a₅=161．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，向量與數(shù)列綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．