Question

6．已知二次函數(shù)f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R），設(shè)M（a，b）是函數(shù)g（x）=|f（x）|在[1，2]上的最大值．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求M（1，b）關(guān)于b的解析式；
（2）若對(duì)任意的a，b∈R，恒有M（a，b）≥M（a₀，b₀），求滿足條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)（a₀，b₀）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1 時(shí)，f（x）=-x²+x+b，則f（x） 在[1，2]上單調(diào)遞減，即可求M（1，b）關(guān)于b的解析式；
（2）函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸為$x=\frac{a}{2}$，下面討論$\frac{a}{2}，1，2$的大小關(guān)系來確定f（x）的單調(diào)性．利用對(duì)任意的a，b∈R，恒有M（a，b）≥M（a₀，b₀），求滿足條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)（a₀，b₀）．

解答 解：（1）當(dāng)a=1 時(shí)，f（x）=-x²+x+b，則f（x） 在[1，2]上單調(diào)遞減，
故f（x） 在[1，2]上的值域?yàn)閇b-2，b]，
從而$M（a，b）=max\{|b-2|，|b|\}=\left\{\begin{array}{l}|b-2|，b≤1\\|b|，b＞1\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸為$x=\frac{a}{2}$，
下面討論$\frac{a}{2}，1，2$的大小關(guān)系來確定f（x）的單調(diào)性．
①當(dāng)a≤2或a≥4時(shí)，f（x）在[1，2]上單調(diào)，
又f（1）=a+b-1，f（2）=2a+b-4，M（a，b）=max{|a+b-1|，|2a+b-4|}
≥$\frac{1}{2}$（|a+b-1|+|2a+b-4|）≥$\frac{1}{2}$|a-3|≥$\frac{1}{2}$，
不等號(hào)1，2，3取到等號(hào)的條件分別為$\left\{\begin{array}{l}|2a+b-4|=|a+b-1|\\（2a+b-4）（a+b-1）＜0\\ a=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}|2a+b-4|=|a+b-1|\\（2a+b-4）（a+b-1）＜0\\ a=4\end{array}\right.$，
從而$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-\frac{7}{2}\end{array}\right.$；
②當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（x）在$[1，\frac{a}{2}]$上單調(diào)遞增，在$[\frac{a}{2}，2]$上單調(diào)遞減，
又f（1）=a+b-1，f（2）=2a+b-4，$f（\frac{a}{2}）=\frac{a^2}{4}+b$
�。┊�(dāng)2＜a≤3時(shí)，M（a，b）=max{|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|，|2a+b-4|}≥$\frac{1}{2}$（|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|+|2a+b-4|）≥$\frac{1}{2}$|$\frac{{a}^{2}}{4}$-2a+4|≥$\frac{1}{8}$
不等號(hào)1，2，3取到等號(hào)的條件分別為$\left\{\begin{array}{l}|\frac{a^2}{4}+b|=|2a+b-4|\\（\frac{a^2}{4}+b）（2a+b-4）＜0\\ a=3\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-\frac{17}{8}\end{array}\right.$．
ⅱ）當(dāng)3＜a≤4時(shí)，M（a，b）=max{|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|，|a+b--|}≥$\frac{1}{2}$（|$\frac{{a}^{2}}{4}$+b|+|a+b-1|）≥$\frac{1}{2}$|$\frac{{a}^{2}}{4}$-a+1|≥$\frac{1}{8}$
不等號(hào)1，2，3取到等號(hào)的條件分別為$\left\{\begin{array}{l}|\frac{a^2}{4}+b|=|a+b-1|\\（\frac{a^2}{4}+b）（a+b-1）＜0\\ a=3\end{array}\right.$，
故$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-\frac{17}{8}\end{array}\right.$，這與3＜a≤4矛盾．

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a₀=3，${b_0}=-\frac{17}{8}$時(shí)，對(duì)任意的a，b∈R，恒有$M（a，b）≥M（{a_0}，{b_0}）=\frac{1}{8}$，故滿足條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)（a₀，b₀）為$（3，-\frac{17}{8}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度大．