Question

18．我們把平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f（x），x∈D上的點(diǎn)P（x，y），滿足x∈N^*，y∈N^*的點(diǎn)稱為函數(shù)y=f（x）的“正格點(diǎn)”．
（1）請你選取一個(gè)m的值，使對函數(shù)f（x）=sinmx，x∈R的圖象上有正格點(diǎn)，并寫出函數(shù)的一個(gè)正格點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若函數(shù)f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2）與函數(shù)g（x）=lgx的圖象有正格點(diǎn)交點(diǎn)，求m的值，并寫出兩個(gè)函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（3）對于（2）中的m值，函數(shù)f（x）=sinmx，$x∈（{0\;，\;\;\frac{5}{9}}）$時(shí)，不等式log_ax＞sinmx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）取m=$\frac{π}{2}$，可求相應(yīng)正格點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作出兩個(gè)函數(shù)圖象，利用圖象可知正格點(diǎn)交點(diǎn)只有一個(gè)點(diǎn)為（10，1），從而有2kπ+$\frac{π}{2}$=10m，m=$\frac{4k+1}{20}$π，k∈Z，m∈（1，2），求得m=$\frac{9π}{20}$，得交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）利用（2）的圖象，分a＞1、0＜a＜1進(jìn)行討論

解答 解：（1）取m=$\frac{π}{2}$時(shí)，
正格點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）；…（2分）
（2）作出兩個(gè)函數(shù)圖象，可知函數(shù)f（x）=sinmx，x∈R，
與函數(shù)g（x）=lgx的圖象有正格點(diǎn)交點(diǎn)只有一個(gè)點(diǎn)為（10，1）；（4分）
∴2kπ+$\frac{π}{2}$=10m，解得m=$\frac{4k+1}{20}$π，其中k∈Z，m∈（1，2），
取m=$\frac{9π}{20}$；…（6分）
根據(jù)圖象可知：兩個(gè)函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)．
（注意：最后兩個(gè)點(diǎn)非常接近，幾乎粘合在一起）…（7分）
（3）由（2）知f（x）=sin$\frac{9π}{20}$x，x∈（0，$\frac{5}{9}$）；
∴①當(dāng)a＞1時(shí)，不等式log_ax＞sinmx不能成立；…（8分）
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由圖（2）可知log_a$\frac{5}{9}$＞sin$\frac{π}{4}$，
∴${（\frac{5}{9}）}^{\sqrt{2}}$＜a＜1．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了新定義和三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問題，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．