Question

【題目】已知直線： 恒過定點(diǎn)，圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.

（1）求定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求圓的方程；

（3）已知點(diǎn)為圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，若另一個(gè)端點(diǎn)為點(diǎn)，問：在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）直線過定點(diǎn)問題，應(yīng)將直線： 的方程中含 的項(xiàng)合并，變?yōu)?/span>，解方程組即可求定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）方法一：設(shè)圓的一般方程為，其圓心為 ，由條件可得關(guān)于 三元方程組，解方程組可求解；方法二：設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程。（3）圓心C為 的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn) 的坐標(biāo)。點(diǎn)M到圓心C距離大于半徑，所以點(diǎn)M在圓C外。故 或 為直角，兩鄰邊垂直，斜率乘積為-1，可求m的值。

試題解析：（1）由得， ，

令，得，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)圓的方程為，

由條件得，解得.

所以圓的方程為.

（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， ，

設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓心的對稱點(diǎn)為，則有，

解得， ，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>在圓外，所以點(diǎn)不能作為直角三角形的頂點(diǎn)，

若點(diǎn)為直角三角形的頂點(diǎn)，則有， ，

若點(diǎn)是直角三角形的頂點(diǎn)，則有， ，

綜上， 或.

所以，

所以.