Question

11．已知三棱錐A-BCD，E為BD的中點，AE⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=1，且三棱錐A-BCD的外接球的體積為$\frac{4π}{3}$，則三棱錐A-BCD的體積為$\frac{2+\sqrt{2}}{12}$或$\frac{2-\sqrt{2}}{12}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出三棱錐外接球的半徑，然后分類求解三棱錐的高，則答案可求．

解答 解：如圖，

由三棱錐A-BCD的外接球的體積為$\frac{4π}{3}$，可得其外接球的半徑R=1．
∵底面BCD是等腰直角三角形，且BC=CD=1，則BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
若外接球的球心O在線段AE上，則$（AE-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}={1}^{2}$，解得AE=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）=\frac{2+\sqrt{2}}{12}$；
若外接球的球心O′在線段AE的延長線上，則$（1-AE）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}={1}^{2}$，解得AE=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）=\frac{2-\sqrt{2}}{12}$．
故答案為：$\frac{2+\sqrt{2}}{12}$或$\frac{2-\sqrt{2}}{12}$．

點評 本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，體現(xiàn)了分類討論與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．