Question

1．若函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與直線l交于兩點(diǎn)A（t，t³-t），B（2t²+3t，t³+t²），其中t≠0且t≠-1，則f'（t²+2t）的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，將A，B坐標(biāo)帶入函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，找到a，b與t的關(guān)系．在求導(dǎo)函數(shù)，再值f'（t²+2t）計(jì)算

解答 解：由題意：A（t，t³-t），B（2t²+3t，t³+t²）在函數(shù)f（x）=ax²+bx+c上，
則有：f（t）=at²+bt+c=t³-t…①，f（2t²+3t）=a（2t²⁺+3t）²+b（2t²+3t）+c=t³+t²…②
那么：②-①得：4at²（t²+3t+2）+2bt（t+1）=t（t+1）
              化簡(jiǎn)：4at²（t+12bt（t+1）=t（t+1）
              解得：4at（t+2）+2b=1
∵f（x）=ax²+bx+c
∴f′（x）=2ax+b
f'（t²+2t）=2a（t²+2t）+b
=2at（t+2）+6
=$\frac{1}{2}$[4at（t+2）+2b]
=$\frac{1}{2}$
故答案為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)函數(shù)定義中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，二次函數(shù)與直線交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值就是直線AB的斜率．屬于中檔題．