Question

4．已知α為銳角，且sin2α+$\sqrt{3}$cos2α=1，函數(shù)f（x）=2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩角和的正弦公式，結(jié)合α為銳角，可得α=$\frac{π}{4}$，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求得a_n+1=2a_n+1，即有a_n+1+1=2（a_n+1），則數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）α為銳角，且sin2α+$\sqrt{3}$cos2α=1，
即有$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2α=$\frac{1}{2}$，
即sin（2α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{3}$＜2α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
可得2α+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，解得α=$\frac{π}{4}$，
f（x）=2x•cos（α-$\frac{π}{4}$）+sin（α+$\frac{π}{4}$）=2xcos0+sin$\frac{π}{2}$
=2x+1；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），
即為a_n+1=2a_n+1，即有a_n+1+1=2（a_n+1），
則數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
可得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即為a_n=2ⁿ-1，
數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

點評 本題考查兩角和的正弦公式的運用和簡單三角方程的解法，考查數(shù)列的通項和求和，注意運用分組求和，考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．