Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+a（$\frac{1}{x}$-1），其中a為大于零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：對(duì)于任意的n∈N*，且n＞1時(shí)，都有l(wèi)nn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由題意可知：f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，則a≤1；
（2）由a=1，則f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1在[1，+∞），則f（$\frac{n}{n-1}$）＞f（1），則lnn-ln（n-1）＞$\frac{1}{n}$，對(duì)任意n∈N*，且n＞1恒成立，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，則lnn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$恒成立．

解答 解：（1）f（x）=lnx+a（$\frac{1}{x}$-1），求導(dǎo)f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
由已知，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
則a≤x在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤1，
實(shí)數(shù)a的取值范圍（0，1]；
（2）證明：由（1）可知：a=1，則f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1在[1，+∞）遞增，
當(dāng)n＞1時(shí)，由$\frac{n}{n-1}$＞1，則f（$\frac{n}{n-1}$）＞f（1），
即lnn-ln（n-1）＞$\frac{1}{n}$，對(duì)任意n∈N*，且n＞1恒成立，
lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln1＞$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$+…+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$，
∴對(duì)于任意的n∈N*，且n＞1時(shí)，都有l(wèi)nn＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查不等式恒成立，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．