Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x-1）的對稱軸為x=1，f（x+1）=$\frac{4}{f（x）}$（f（x）≠0），且在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，已知α、β是鈍角三角形中兩銳角，則f（sinα）和f（cosβ）的大小關(guān)系是（　�。�

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（sinα）=f（cosβ）
• D． 以上情況均有可能

Answer 1

分析 由平移圖象可得y=f（x）的對稱軸為x=0，由f（x）f（x+1）=4，將x換為x+1，可得f（x）的周期為2，由題意可得f（x）在（-1，0）上遞減，在（0，1）上遞增，由α，β是鈍角三角形中兩銳角，可得α+β＜$\frac{π}{2}$，運(yùn)用誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，得到結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，f（x-1）的對稱軸為x=1，可得y=f（x）的對稱軸為x=0，即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
又f（x）f（x+1）=4，
可得f（x+1）f（x+2）=4，即為f（x+2）=f（x），
函數(shù)f（x）為最小正周期為2的偶函數(shù)．
f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，
可得f（x）在（-1，0）上遞減，在（0，1）上遞增，
又由α，β是鈍角三角形中兩銳角，可得α+β＜$\frac{π}{2}$，
即有0＜α＜$\frac{π}{2}$-β＜$\frac{π}{2}$，進(jìn)而有sinα＜sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
則f（sinα）＜f（cosβ）．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的對稱性和周期性的運(yùn)用，考查偶函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查三角形函數(shù)的誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．