Question

18．設函數(shù)f（x）=log₂x+ax+b（a＞0），若存在實數(shù)b，使得對任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，則t的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由對數(shù)函數(shù)的單調性可得f（x）在（0，+∞）遞增，由題意可得-1-a≤f（x）≤1+a恒成立，即有-1-a≤f（x）_min=f（t）=log₂t+at+b，1+a≥f（x）_max=log₂（t+2）+a（t+2）+b，運用不等式的性質，可得t的不等式，即可得到t的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=log₂x+ax+b（a＞0），
由y=log₂x，y=ax+b在（0，+∞）遞增，
可得f（x）在（0，+∞）遞增，
由對任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，
可得-1-a≤f（x）≤1+a恒成立，
即有-1-a≤f（x）_min=f（t）=log₂t+at+b，①
1+a≥f（x）_max=log₂（t+2）+a（t+2）+b，
即為-1-a≤-log₂（t+2）-a（t+2）-b，②
①+②可得-2-2a≤log₂t+at+b-log₂（t+2）-a（t+2）-b，
化為log₂$\frac{t}{t+2}$≥-2，
解得$\frac{t}{t+2}$≥$\frac{1}{4}$，
解得t≥$\frac{2}{3}$，
則t的最小值為$\frac{2}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用轉化思想，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．