Question

9．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）． 
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：${a_n}=\frac{b_1}{2+1}+\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{2^n}+1}}$，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）令${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通項公式；
（2）將n換為n+1，兩式相減，結(jié)合（1）即可得到所求通項；
（3）求出c_n=$\frac{{a}_{n}_{n}}{4}$=n•2ⁿ+n，運用數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2滿足該式，
則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n；
（2）${a_n}=\frac{b_1}{2+1}+\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{2^n}+1}}$①，
${a_{n+1}}=\frac{b_1}{2+1}+\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{2^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}+1}}$②，
②-①得：$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}+1}}={a_{n+1}}-{a_n}=2$即${b_{n+1}}=2（{{2^{n+1}}+1}）$，
故${b_n}=2（{{2^n}+1}）$（n∈N^*）；
（3）因為c_n=$\frac{{a}_{n}_{n}}{4}$=n•2ⁿ+n，
所以前n項和T_n=c₁+c₂+…+c_n=（1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ）+（1+2+3+…+n），
令${H_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$③
$2{H_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n×{2^{n+1}}$④
③-④得，$-{H_n}=（2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}）=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$，
則${H_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2+\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，同時考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．