Question

10．已知過點P作曲線y=x³的切線有且僅有兩條，則點P的坐標(biāo)可能是（　�。�

• A． （0，0）
• B． （0，1）
• C． （1，1）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點為（m，m³），求得切線的斜率，以及切線的方程，運用代入法，將選項代入切線的方程，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：y=x³的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²，
設(shè)切點為（m，m³），
可得切線的斜率為3m²，
切線的方程為y-m³=3m²（x-m），
若P（0，0），
則-m³=3m²（0-m），解得m=0，只有一解；
若P（0，1），
則1-m³=3m²（0-m），可得m³=-$\frac{1}{2}$，只有一解；
若P（1，1），
則1-m³=3m²（1-m），可得2m³-3m²+1=0，
即為（m-1）²（2m+1）=0，解得m=1或-$\frac{1}{2}$，有兩解；
若P（-2，-1），
則-1-m³=3m²（-2-m），可得2m³+6m²-1=0，
由f（m）=2m³+6m²-1，f′（m）=6m²+12m，
當(dāng)-2＜m＜0時，f（m）遞減；當(dāng)m＞0或m＜-2時，f（m）遞增．
可得f（0）=-1為極小值，f（-2）=7為極大值，
則2m³+6m²-1=0有3個不等實數(shù)解．
故選：C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和設(shè)出切點是解題的關(guān)鍵，注意運用排除法，屬于中檔題．