Question

5．在（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n=8，展開式中常數(shù)項是$\frac{35}{8}$．

Answer 1

分析 在（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式中，只有第5項的第二項系數(shù)最大，由此求出n=8．從而T_r+1=（$\frac{1}{2}$）^8-r（-1）^r${C}_{8}^{r}$x^8-2r，由8-2r=0，得r=4．由此能求出展開式中常數(shù)項．

解答 解：∵在（$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，
∴n=8．
∴T_r+1=${C}_{8}^{r}$（$\frac{x}{2}$）^8-r（-$\frac{1}{x}$）^r
=（$\frac{1}{2}$）^8-r（-1）^r${C}_{8}^{r}$x^8-2r，
由8-2r=0，得r=4．
∴展開式中常數(shù)項是：（$\frac{1}{2}$）⁴（-1）⁴${C}_{8}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
故答案為：8，$\frac{35}{8}$．

點評 本題考查二項式的冪指數(shù)的求法，考查展開式中常數(shù)項的求法，考查二項式定理、通項公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．