Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若f（x²）+f（kx+1）＞0對(duì)任意x∈R恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，先分析其定義域，在求出f（-x），分析f（x）與f（-x）的關(guān)系，即可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由函數(shù)f（x）的解析式，對(duì)其求導(dǎo)可得f′（x）=e^x+e^-x，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分析可得：f（x²）+f（kx+1）＞0對(duì)任意x∈R恒成立等價(jià)于x²+kx+1＞0對(duì)任意x∈R恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，
其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
其導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x+e^-x＞0，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，
f（x²）+f（kx+1）＞0⇒f（x²）＞-f（kx+1）⇒f（x²）＞f（-kx-1）⇒x²＞（-kx-1）⇒x²+kx+1＞0，
即x²+kx+1＞0對(duì)任意x∈R恒成立，
則有k²-4＜0，
解可得-2＜k＜2；
故k的取值范圍是（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析得到函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性．