Question

14．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下四個(gè)式中的值都等于同一個(gè)常數(shù)k．
①cos²11°+sin²41°-cos11°sin41°；
②cos²22°+sin²52°-cos22°sin52°；
③cos²30°+sin²60°-cos30°sin60°；
④cos²44°+sin²74°-cos44°sin74°．
（1）試從上述四個(gè)式中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)k的值；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣三角恒定等式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）選③計(jì)算即可，
（2）依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、角之間的關(guān)系，可以得到形如“cos²α+sin²（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$”的規(guī)律．然后利用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)即可得到答案

解答 解：（1）cos²30°+sin²60°-cos30°sin60°=$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$
（2）根據(jù)式子特點(diǎn)猜想：cos²α+sin²（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$
證明：cos²α+sin²（α+30°）-cosαsin（α+30°）
=cos²α+（sin30°cosα+cos30°sinα）²-cosα（sin30°cosα+cos30°sinα）
=cos²α+（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）²-cosα（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=cos²α+（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）（-$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα）
=cos²α-$\frac{1}{4}$cos²α+$\frac{3}{4}$sin²α=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 歸納推理一般是先根據(jù)個(gè)別情況所體現(xiàn)出來(lái)的某些相同的規(guī)律，然后從這些已知的相同性質(zhì)規(guī)律推出一個(gè)明確的一般性規(guī)律或性質(zhì)．此題是一個(gè)三角函數(shù)式，所以重點(diǎn)抓住角之間的關(guān)系，式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行歸納，得出一般性結(jié)論．