Question

16．已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，bsinA+acos（B+C）=0且$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，
（1）求證：$B-A=\frac{π}{2}$；
（2）求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理可得和誘導(dǎo)公式即可證明，
（2）由誘導(dǎo)公式和二倍角公式以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理即可求出

解答 （1）證明：∵bsinA+acos（B+C）=0，
∴bsinA-acosA=0，
又由正弦定理得sinAcosA-sinBsinA=0，
∵sinA≠0，
即cosA=sinB．
∴cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sinB，
∴$\frac{π}{2}$+A+B=π，
即C=A+B=$\frac{π}{2}$，或B=$\frac{π}{2}$+A，
即B-A=$\frac{π}{2}$，
又sinC=$\frac{3}{5}$，
∴B-A=$\frac{π}{2}$，
（2）由于$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，C為銳角，
則cosC=sin（$\frac{π}{2}$-C）=sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，
則1+2sinAcosA=（sinA+cosA）²=$\frac{9}{5}$，
∴sinA+cosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴a+b=$\frac{c}{sinc}$（sinA+cosA）=$\frac{10}{3}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正弦定理和二倍角公式以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題