Question

13．已知圓C：x²+y²-4x+2y-3=0和圓外一點(diǎn)M（4，-8）．
（1）過(guò)M作圓C的切線，切點(diǎn)為D，E，圓心為C，求切線長(zhǎng)及DE所在的直線方程；
（2）過(guò)M作圓的割線交圓于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=4，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)可知，切線長(zhǎng)、半徑、M點(diǎn)到圓心距離滿足勾股定理，則切線長(zhǎng)可求；由于C，D，M，E四點(diǎn)共圓，則過(guò)C，D，M，E的圓方程可求，兩式相減即可得到CD所在直線的方程；
（2）先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心O和半徑，再根據(jù)弦長(zhǎng)為4，結(jié)合垂徑定理得到圓心到直線AB的距離，則就可以利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線AB的斜率，問(wèn)題獲解．

解答 解：（1）圓方程（x-2）²+（y+1）²=8，$|CM|=\sqrt{53}$，切線長(zhǎng)為$\sqrt{|CM{|^2}-{r^2}}=3\sqrt{5}$．
由于C，D，M，E四點(diǎn)共圓，則過(guò)C，D，M，E的圓方程為${（x-3）^2}+{（y+\frac{9}{2}）^2}=\frac{53}{4}$，
由于DE為兩圓的公共弦，則兩圓相減得DE直線方程為：2x-7y-19=0．
（2）①若割線斜率存在，設(shè)AB：y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0．
設(shè)AB的中點(diǎn)中點(diǎn)為N，則$|CN|=\frac{|2k+1-4k-8|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$$⇒|CN|=\frac{|2k+7|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
由$|CN{|^2}+{（\frac{|AB|}{2}）^2}={r^2}$，得$k=-\frac{45}{28}$；直線AB：45x+28y+44=0．
②若割線斜率不存在，AB：x=4．
代入圓方程得y²+2y-3=0⇒y₁=1，y₂=-3，符合題意．
綜上直線AB：45x+28y+44=0或x=4．

點(diǎn)評(píng) 有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題一般會(huì)用到垂徑定理，側(cè)重考查圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．