Question

4．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點．
（1）求證：AM∥平面BEC；
（2）若點P為線段BC的中點，求直線PE與平面BDE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取CE的中點N，連接MN，BN，通過證明四邊形ABNM是平行四邊形可得AM∥BN，于是AM∥平面BEC；
（2）證明BP⊥平面BDE，于是∠PEB為所求角，求出BP和BE即可得出答案．

解答 （1）證明：取CE的中點N，連接MN，BN，
∵M，N分別是DE，CE的中點，
∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}$CD，
又AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴AB∥MN，AB=MN，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，
∴AM∥BN，又AM?平面BCE，BN?平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
（2）解：∵直角梯形ABCD中，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，AB⊥AD，
∴BD=BC=$\sqrt{2}$，∴BC⊥BD，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，AD⊥DE，
∴DE⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，
∴DE⊥BC，又BD∩DE=D，
∴BC⊥平面BDE，即BP⊥平面BDE，
∴∠PEB為直線PE與平面BDE所成角，
∵BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PEB=$\frac{BP}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，屬于中檔題．