Question

7．雙曲線(xiàn)C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$與拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB恰好經(jīng)過(guò)它們的公共焦點(diǎn)F，則雙曲線(xiàn)的離心率為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 用a，b，c表示出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程得出a，b，c的關(guān)系，從而可得離心率．

解答 解：由F為公共焦點(diǎn)可知c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
∵拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)都關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴直線(xiàn)AB的方程為x=c，
代入雙曲線(xiàn)方程得y=±$\frac{^{2}}{a}$，即A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$）．
∵A，B在拋物線(xiàn)上，
∴$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$=4c²，又b²=c²-a²，
∴c²-a²=2ac，即e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$或e=1-$\sqrt{2}$（舍）．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的性質(zhì)，屬于中檔題．