Question

11．已知函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（a+1）x+lnx（a∈R，a≠0）．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)恒有g(shù)（x）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)恒有g(shù)（x）＜0，g（x）_max＜0，結(jié)合（1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
${g^'}（x）=ax-（a+1）+\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-（a+1）x+1}}{x}=\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$（1分）
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{1}{a}＞1＞0$．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)g′（x）＞0，
當(dāng)$x∈（1，\frac{1}{a}）$時(shí)g′（x）＜0；
當(dāng)$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，g′（x）＞0，
所以，g（x）的單增區(qū)間為（0，1），$（\frac{1}{a}，+∞）$，單減區(qū)間為$（1，\frac{1}{a}）$．（2分）
②當(dāng)a=1時(shí)，恒有g(shù)，（x）≥0，所以g（x）的單增區(qū)間為（0，+∞）-（3分）
③當(dāng)a＞1時(shí)，$0＜\frac{1}{a}＜1$當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{a}）$時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)$x∈（\frac{1}{a}，1）$時(shí)g′（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
所以，g（x）的單增區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，（1，+∞），單減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，1）$．-（4分）
④當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}＜0＜1$當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0
所以，g（x）的單增區(qū)間為（0，1），單減區(qū)間為．（1，+∞）-（6分）
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)恒有g(shù)（x）＜0，即g（x）_max＜0，
由（1）知：當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，則$g{（x）_{max}}=g（1）=-\frac{a}{2}-1＜0$，得-2＜a＜0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）在$（1，\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增，此時(shí)g（x）∈[g（1），+∞），故不可能g（x）_max＜0，不合題意；
當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）∈[g（1），+∞），故不可能g（x）_max＜0，不合題意．
綜上：a的取值范圍-2＜a＜0．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，對于函數(shù)的恒成立的問題求參數(shù)，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．