Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin（\frac{πx}{3}+\frac{5}{6}π），-3≤x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四個不同解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范圍為（　　）

• A． [1，$\frac{7}{2}$）
• B． [1，$\frac{7}{2}$]
• C． [-1，$\frac{7}{2}$]
• D． [-1，$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x），得到x₁，x₂關于x=-1對稱，x₃x₄=1；化簡條件，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：作函數(shù)f（x）的圖象如右，
∵方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂關于x=-1對稱，即x₁+x₂=-2，
由|log₂x|=2得x=$\frac{1}{4}$或x=4，
由|log₂x|=1得x=$\frac{1}{2}$或x=2，
即$\frac{1}{4}$＜x₃≤$\frac{1}{2}$，2≤x₄＜4，
則|log₂x₃|=|log₂x₄|，
即-log₂x₃=log₂x₄，
則log₂x₃+log₂x₄=0
即log₂x₃x₄=0
則x₃x₄=1；
故${x_3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{4}$＜x₃≤$\frac{1}{2}$；
則函數(shù)y=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在$\frac{1}{4}$＜x₃≤$\frac{1}{2}$上為減函數(shù)，
則故x₃=$\frac{1}{2}$取得最大值，為y=1，
當x₃=$\frac{1}{4}$時，函數(shù)取得最大值為-2×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{\frac{1}{4}}$=-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{7}{2}$．
即函數(shù)取值范圍是[1，$\frac{7}{2}$）．
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用數(shù)形結合的思想方法是解題的關鍵．