Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥x的解集；
（2）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的范圍；
（3）若方程f（x）=x有三個不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=0，不等式f（x）≥x化為不等式|x+1|-|x|≥x，分類討論，即可求得f（x）≥x的解集；
（2）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|-|x+1|≤a恒成立，求出左邊的最大值，即可求a的范圍；
（3）u（x）=|x+1|-|x|，做出y=u（x）和y=x的圖象，方程f（x）=x恰有三個不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化成y=u（x）與y=x的圖象始終有3個交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=0，不等式f（x）≥x化為不等式|x+1|-|x|≥x．
x≤-1時，-x-1+x≥x，∴x≤-1；
-1＜x＜0時，x+1+x≥x，∴-1＜x＜0；
x≥0時，x+1-x≥x，∴0≤x≤1；
綜上所述，不等式f（x）≥x的解集為{x|x≤1}；
（2）若對任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|-|x+1|≤a恒成立，
∵|x|-|x+1|≤|x-x-1|=1，∴a≥1；
（3）設(shè)u（x）=|x+1|-|x|，y=u（x）的圖象和y=x的圖象如圖所示．

易知y=u（x）的圖象向下平移1個單位以內(nèi)（不包括1個單位），與y=x的圖象始終有3個交點(diǎn)，
從而-1＜a＜0．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)與方程的應(yīng)用，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．