Question

4．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，b₁=4，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），即可證明．
（II）由（Ⅰ）知a_n+1=2ⁿ，可得：${b_n}-{b_{n-1}}={2^n}（n≥2）$，利用“累加求和”方法與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a_n+1≠0，∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，即{a_n+1}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n+1=（a₁+1）q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴${b_n}-{b_{n-1}}={2^n}（n≥2）$，${b_2}-{b_1}={2^2}，{b_3}-{b_2}={2^3}，{b_4}-{b_3}={2^4}…{b_n}-{b_{n-1}}={2^n}（n≥2）$，
將以上n-1個(gè)式子累加可得${b_n}-{b_1}=\frac{{4（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}={2^{n+1}}-4$，又b₁=4，
故${b_n}={2^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“累加求和”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．