Question

13．已知圓C：（x-1）²+（y-3）²=2被y軸截得的線段AB與被直線y=3x+b所截得的線段CD的長度相等，則b等于（　�。�

• A． ±$\sqrt{5}$
• B． ±$\sqrt{10}$
• C． ±2$\sqrt{5}$
• D． ±$\sqrt{30}$

Answer 1

分析 求出圓C的圓心C（1，3），半徑r=$\sqrt{2}$，求出圓C：（x-1）²+（y-3）²=2被y軸截得的線段AB的長為2，從而得到圓C：（x-1）²+（y-3）²=2被直線y=3x+b所截得的線段CD的長度為2，再求出圓心C（1，3）到直線y=3x+b的距離d，由勾股定理得：${r}^{2}=orzrdtb^{2}+（\frac{CD}{2}）^{2}$，由此能求出b．

解答 解：圓C：（x-1）²+（y-3）²=2的圓心C（1，3），半徑r=$\sqrt{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{（x-1）^{2}+（y-3）^{2}=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴圓C：（x-1）²+（y-3）²=2被y軸截得的線段AB的長為2，
∵圓C：（x-1）²+（y-3）²=2被y軸截得的線段AB與被直線y=3x+b所截得的線段CD的長度相等，
∴圓C：（x-1）²+（y-3）²=2被直線y=3x+b所截得的線段CD的長度為2，
∵圓心C（1，3）到直線y=3x+b的距離d=$\frac{|3-3+b|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{|b|}{\sqrt{10}}$，
∴由勾股定理得：${r}^{2}=nzgoirk^{2}+（\frac{CD}{2}）^{2}$，
即2=$\frac{^{2}}{10}+1$，解得b=$±\sqrt{10}$．
故選：B．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．