Question

有下列命題：
①雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點(diǎn)；
②“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分條件；
③若

a

、

b

共線，則

a

、

b

所在的直線平行；
④?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命題的有：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：本題可以利用橢圓方程、不等式化簡(jiǎn)、向量的幾何意義等知識(shí)對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，確定其真假，得到本題結(jié)論．

解答： 解：關(guān)于命題①
∵雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1中，a²=25，b²=9
∴c²=a²+b²=34，c=

34

．
∴雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±

34

，0)．
∵橢圓

x2

35

+y²=1中，a′²=35，b′²=1，
∴c′²=a′²-b′²=35-1=34，c′=

34

．
∴橢圓

x2

35

+y²=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±

34

，0)．
∴雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點(diǎn)．
故命題①正確；
關(guān)于命題②
∵2x²-5x-3＜0，
?（2x+1）（x-3）＜0，
?-

1

2

＜x＜3．
又∵“-

1

2

＜x＜0”⇒“-

1

2

＜x＜3”，反之不成立，
∴“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要條件；
故命題②錯(cuò)誤；
關(guān)于命題③
若

a

、

b

共線，
則

a

∥

b

．
∴

a

、

b

所在的直線平行或者共線，
故命題③錯(cuò)誤；
關(guān)于命題④
?x∈R，
x²-3x+3=(x-

3

2

)2+3-

9

4

=(x-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
∴x²-3x+3≠0，
故命題④正確．
綜上，正確的命題有：①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程、不等式化簡(jiǎn)、向量的幾何意義等知識(shí)，本題難度適中，屬于中檔題．