Question

15．已知函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），若存在x₁，x₂，…x_n滿足0≤x₁＜x₂＜…＜x_n≤4π，且|f（x₁）-f（x₂）|+|f（₂）-f（x₃）|+…+|f（x_n-1）-f（x_n）|=16（n≥2，n∈N*），則n的最小值為（　�。�

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 由正弦函數(shù)的有界性可得，對任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=2，要使n取得最小值，盡可能多讓x_i（i=1，2，3，…，n）取得最高點，然后作圖可得滿足條件的最小n值．

解答 解：∵f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）對任意x_i，x_j（i，j=1，2，3，…，n），
都有|f（x_i）-f（x_j）|≤f（x）_max-f（x）_min=2，
要使n取得最小值，盡可能多讓x_i（i=1，2，3，…，n）取得最高點，
考慮0≤x₁＜x₂＜…＜x_n≤4π，|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_n-1）-f（x_n）|=16，
按下圖取值即可滿足條件，

即有|1+$\frac{1}{2}$|+2×7+|1-$\frac{1}{2}$|=16．
則n的最小值為10．
故選：C．

點評 本題考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查余弦函數(shù)的有界性的應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于難題．